Raíz cuadrada

Varios ejemplos de cómo resolver una raíz cuadrada correcta y fácilmente (incluso con decimales) sin hacer uso para ello de la calculadora.

Raíz cuadrada

Las raíces cuadradas son resultado de plantear problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado, y surgieron ya en la antigüedad. El papiro de Ahmes (o papiro matemático Rhind), datado en el año 1650 a. de C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas. En la antigua India el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue al menos tan antiguo como los textos Śulbasūtras, fechados alrededor del 800-500 a. C.

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO NATURAL
Se define como raíz cuadrada de un número a otro número tal que al elevarle al cuadrado reproduce el primero.

El símbolo de la raíz cuadrada se llama ‘radical’ y fue introducido en el año 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación que aparece en su libro Coss. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz.

Cómo resolver una raíz cuadrada.

Por ejemplo:

Raíz cuadrada de ochenta y uno es igual a nueve.

 

…ya que

Nueve al cuadrado es igual a ochenta y uno.

 

El 9 es la raíz exacta de 81.

RAÍZ CUADRADA ENTERA DE UN NÚMERO
Se llama así a la raíz que corresponde al mayor cuadrado perfecto que sea menor que el número dado; por ejemplo, la raíz cuadrada entera de 87 es 9, porque…

Nueve al cuadrado es igual a ochenta y uno.

 

…es el mayor cuadrado perfecto menor de 87. A la diferencia 87 – 81 = 6 se le llama resto de la raíz.

Ochenta y siete es igual a nueve al cuadrado más seis.

 

Y, en general, si el número ‘a’ no tiene raíz exacta y ‘b’ es su raíz entera:

Cómo resolver una raíz cuadrada.

 

…donde ‘r’ será el resto de la raíz.

PROPIEDAD DEL RESTO
El resto será siempre menor que el duplo de la raíz hallada, más la unidad.

Esto es debido a que la diferencia entre los cuadrados de números consecutivos es igual al duplo del menor más uno, por ejemplo:

Cómo resolver una raíz cuadrada.

Si al sacar…

Raíz cuadrada de ochenta y uno.

 

…tomáramos como solución 8 y resto 17, tendríamos la igualdad anterior:

Ochenta y uno es igual a ocho al cuadrado más diecisiete.

 

(que, como ya sabemos, es el cuadrado perfecto de 9).

Luego…

Raíz cuadrada de ochenta y uno.

 

sería 9 y el resto cero. La solución 8 con resto 17 sería incorrecta.

REGLA PRÁCTICA PARA OBTENER LA RAÍZ CUADRADA ENTERA DE UN NÚMERO NATURAL

Cómo resolver una raíz cuadrada (tomando como ejemplo el número 348218).

1.º)Se divide el número en grupos de dos cifras empezando por la derecha.

2.º)Se halla mentalmente la raíz entera del primer grupo (34), es decir, 5 y se pone en el ángulo superior derecho. Se eleva al cuadrado el 5 y el resultado 25 se resta de 34, quedando 9 como resto.

3.º)Al resto se añade a su derecha el siguiente grupo (82), formándose el número 982. Se separa la última cifra (2), quedando 98, que se divide por el duplo de la raíz hallada, o sea, por 10. El cociente aproximado 9 se escribe a la derecha del 10, formándose el número 109, que se multiplica por el mismo cociente, es decir, por 9. Su producto 109 x 9 = 981 se resta de 982 (si esta operación es posible, el 9 será la segunda cifra de la raíz; caso de que no pudiera efectuarse la resta se pondría 8 en vez de 9, procediendo luego de la misma manera).

4.º)Efectuada la resta 982 – 981 = 1, se añade al 1 el grupo siguiente, o sea, el 18. Se separa una cifra, quedará el 11, que habrá que dividir por el duplo de la raíz hallada, 118. Pero como esto no es posible se pondrá 0 al lado del 59.

La operación habrá concluido, al no existir más grupos de dos cifras en el radicando.

Solución: La raíz entera de 348218 es 590 y el resto 118.

Prueba: Debe cumplirse…

Prueba de estar bien resuelta la raíz cuadrada de 348218.

 

…esto es cierto y la operación es correcta.

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO RACIONAL POSITIVO CUALQUIERA CON APROXIMACIÓN DE UN ORDEN DECIMAL PREFIJADO
Sea la raíz de 3742,182 que vamos a obtener con centésimas. Para ello añadiremos un cero a la derecha del número para poder formar dos grupos de dos cifras decimales:

Cómo resolver una raíz cuadrada con decimales (tomando como ejemplo el número 3742,182).

Se formarán grupos de dos cifras a izquierda y a derecha de la coma y se procederá como si de un número entero se tratara, con la condición de que al bajar el primer grupo de decimales pongamos la coma decimal en la raíz.

La raíz es 61,17 y el resto 0,4131.

Prueba:

Prueba de estar bien resuelta la raíz cuadrada de 3742,182.

 

 

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Sobre Martín Álvarez

Profesor titulado de educación primaria y secundaria.

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